Question

19．计算：1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+100}$．

Answer 1

分析 先根据高斯求和公式S=（首项+末项）×项数÷2把分数变形，再根据拆项公式$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$拆项后通过加减相互抵消即可简算．

解答 解：1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+100}$
=1+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+$\frac{2}{4×5}$+…+$\frac{2}{100×101}$
=1+2×（$\frac{1}{2×3}$$+\frac{1}{3×4}$$+\frac{1}{4×5}$+…$+\frac{1}{100×101}$）
=1+2×（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$$+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$+…$+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}$）
=1+2×（$\frac{1}{2}-\frac{1}{101}$）
=1+1-$\frac{2}{101}$
=1$\frac{99}{101}$．

点评 此题比较繁琐，于是就要寻找简单的算法．此题解决的关键在于：通过加减相抵消的方法，可简算出结果．