Question

（2013?北京模拟）有一个不等于0的自然数，它的

1

2

是一个立方数，它的

1

3

是一个平方数，则这个数最小是

432

．

Answer 1

分析：有一个不等于0的自然数，它的

1

2

是一个立方数，说明这个数是2的倍数，不妨设为2x³；它的

1

3

是一个平方数，不妨设为3y²；则有2x³=3y²（x、y都是自然数），由此可继续推出x也是3的倍数，y是2的倍数，依次进行分析，找到问题的答案．

解答：解：根据题意，设所求的数是2x³=3y²，x，y都是不为0的自然数；
则3|x，2|y，
不妨设x=3m，y=2n，代入上式可得，
54m³=12n²，9m³=2n²；
仿照上面，会设出m=2p，n=3q，则有4p³=q²；
这个方程的最小正整数解是p=1，q=2；
∴m=2，n=6；
进一步得出x=6，y=12；
故2x³=432为所求的最小数．故答案为：432．

点评：此题主要抓住自然数为立方数和平方数的特点，以及被2和3整除数的表示方法，一步步探究出问题的答案．