Question

10．一个装满水的圆锥形容器，底面积为80cm²，高为18cm，将这些水全部倒入一个长方体水槽中，已知这个长方体水槽的长、宽、高分别是10cm、6cm、15cm，①求这个长方体水槽中水的深度；②如果把一个底面半径为2厘米的圆柱形铁块A垂直放入长方体水槽中，当它的一个底面在水中与长方体水槽的底面完全接触时，仍有$\frac{2}{7}$的铁块露出水面，如果再将同样规格的另一个圆柱形铁块B也垂直放入长方体水槽中，此时两个铁块还能有露出水面的部分吗？若有露出水面的部分，请求出圆柱形铁块A露出水面部分的高是多少厘米；若没有露出水面的部分，请求出长方体水槽中的水面上升了多少厘米？（π取3）

Answer 1

分析 （1）把这个圆锥体内的水倒入长方体容器内，体积不变，根据圆锥的体积计算公式“V=$\frac{1}{3}$Sh”及长方体的体积计算公式“V=abh”即可求出长方体容器内水的高度．
（2）设圆柱形铁块A的高为h厘米，把它直放入长方体水槽中，水淹没部分为（1-$\frac{2}{7}$）h，由此即可求出淹没部分的体积，淹没部分的体积等于水上升的体积，由此即可列方程解答求出h．
（3）假设水把两个铁块都淹没，水面积则上升[（3×2²×2×14）÷（10×6）]厘米，求出这个高度与14cm比较即可确定圆柱形铁块露出还是淹没在水中．再同（2）列方程求出铁块A淹没的高度，进而求出长方体水槽中的水面上升的高度．

解答 解：（1）长方体容器中水的高度：
（$\frac{1}{3}$×80×18）÷（10×6）
=480÷60
=8（cm）

（2）高圆柱形铁块A的高为hcm．
3×2²×（1-$\frac{2}{7}$）h=10×6×[（1-$\frac{2}{7}$）h-8]
           3×4×$\frac{5}{7}$h=10×6×$\frac{5}{7}$h-10×6×8
                $\frac{60}{7}$h=$\frac{300}{7}$h-480
 $\frac{60}{7}$h-$\frac{60}{7}$h+480=$\frac{300}{7}$h-480-$\frac{60}{7}$h+480
                  480=$\frac{240}{7}$h
          480÷$\frac{240}{7}$=$\frac{240}{7}$h÷$\frac{240}{7}$
                     14=h
                      h=14

（3）假设圆柱全被淹没，则水面上升：
3×2²×2×14÷﹙10×6﹚
=351.68÷60
=5$\frac{323}{375}$（cm）
因为5$\frac{323}{375}$cm＜14cm
所以两个铁块还能露出水面
    3×2²×2×h=10×6×﹙h-8﹚
            24h=10×6×（h-8）
            24h=60h-480
24h-24h+480=60h-480-24h+480
            480=36h
       480÷36=3h6÷36
           13$\frac{1}{3}$=h
            即h=13$\frac{1}{3}$
14-13$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$（cm）
答：长方体水槽中的水面上升了$\frac{2}{3}$厘米．

点评 此题难度大．关键是求出圆锥容器中的水倒入长方体容器中水的高度，再求出铁块的高度，求出铁块被淹没的高度．