Question

13．先计算，现发现规律
$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=
$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=
$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$=
$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$=
$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$=
应用上面的规律计算：$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$．

Answer 1

分析 分母不同的两个分数相减，首先通分，然后分子直接相加减，得到的差分别是$\frac{1}{6}$、$\frac{1}{12}$、$\frac{1}{20}$、$\frac{1}{30}$、$\frac{1}{42}$；得到的规律是：两个连续自然数的倒数差，等于两个连续自然数的积的倒数；反之，两个连续自然数的倒数，也可拆分为两个连续自然数的倒数差；这样，在它们求和时，前后抵消，进而得解．

解答 解：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{3-2}{2×3}$=$\frac{1}{6}$
$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{4-3}{3×4}$=$\frac{1}{12}$
$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$=$\frac{5-4}{4×5}$=$\frac{1}{20}$
$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$=$\frac{6-5}{5×6}$=$\frac{1}{30}$
$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$=$\frac{7-6}{6×7}$=$\frac{1}{42}$
应用上面的规律计算：
$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$
=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$$-\frac{1}{6}$）+（$\frac{1}{6}$$-\frac{1}{7}$）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$$-\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$$-\frac{1}{7}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{7}$
=$\frac{7-2}{2×7}$
=$\frac{5}{14}$

点评 认真分析，得出规律，应用规律使问题简化是解决此题的关键．