Question

在正方体的8个顶点处分别标上1，2，3，4，5，6，7，8，然后再把每条棱两端所标的两个数之和写在这条棱的中点，问各棱中点所写的数是否可能恰有五种不同数值？各棱中点所写的数是否可能恰有四种不同数值？如果可能，对照如图在表中填上正确的数字；如果不可能，说明理由．

不同数值	A	B	C	D	E	F	G	H
6，8，9，10，12	1	5	3	7	8	4	6	2

Answer 1

分析：各棱中点处所写的数恰有五种不同数值是可能的，如在A、B、…、H依次填1，5、3、7、8、4、6、2，则中点处恰有五个不同数值6、8、9、10、12．不可能少于五种不同数值，理由如下：
以1所在顶点为端点的棱有三条，不妨设这三条棱的另一端点所填写的数是a、b、c，满足a＜b＜c，则这三条棱的中点处的数为1+a，1+b和1+c，满足1+a＜1+b＜1+c．
以8所在顶点为端点的棱也有三条，不妨设这三条棱另一端点所填写的数为x、y、2，满足x＜y＜z，则这三条棱的中点处的数为8+x，8+y，8+z，满足8+x＜8+y＜8+z．
又 c≤8，1+c≤9；x≥1，8+x≥9，所以 1+a＜1+b＜1+c≤8+x＜8+y＜8+z，从而这六条棱中点的六个数不可能少于五种不同的值，因此在12条棱中的点处所写的数不可能有少于五种不同的数值．

解答：解：因为以1所在顶点为端点的棱有三条，不妨设这三条棱的另一端点所填写的数是a、b、c，满足a＜b＜c，
则这三条棱的中点处的数为1+a，1+b和1+c，满足1+a＜1+b＜1+c．
以8所在顶点为端点的棱也有三条，不妨设这三条棱另一端点所填写的数为x、y、2，满足x＜y＜z，
则这三条棱的中点处的数为8+x，8+y，8+z，满足8+x＜8+y＜8+z．
又 c≤8，1+c≤9；x≥1，8+x≥9，
所以，1+a＜1+b＜1+c≤8+x＜8+y＜8+z
从而这六条棱中点的六个数不可能少于五种不同的值，因此在12条棱中的点处所写的数不可能有少于五种不同的数值．

点评：解答本题的关键是设出以1和以8为所在顶点为端点的棱，进而依次得出棱的中点数，进而解决问题．