Question

要求长1米的铜管锯成长38毫米和长90毫米的两种规格的小铜管，每锯一次损耗1毫米铜管，那么只有当锯得这两种规格的小铜管段数分别是多少时？才能使损耗最少？

Answer 1

考点：公因数和公倍数应用题

专题：约数倍数应用题

分析：根据题意可知，同样长度的铜管锯的次数越少则损耗的就越少，要想分割的次数越少就要使每一段的长度最大．本题中就是要让90毫米的铜管达到最多，而让38毫米的铜管最少．因为锯一次要损耗1毫米铜管，我们设38毫米、90毫米的铜管分别锯X段、Y段，那么，根据题意，有：38X+90Y=1000-（X+Y-1）×1．要使损耗最少，就应尽可能多锯90毫米长的铜管，也就是说上面式中的X应尽可能小，Y尽可能大．将X的值按由小到大顺序，用试代法代入，解这个不定方程就不难得到答案了．

解答： 解：设38毫米、90毫米的木条分别锯X段、Y段，那么根据题意有：
     38X+90Y=1000-（X+Y-1）×1
     即39X+91Y=1001
要使损耗最少，就应尽可能多锯90毫米长的木条，也就是说上面式中的X应尽可能小，Y尽可能大．
将X的值按由小到大顺序，用试代法代入，解这个不定方程得：
当X=1时，Y=10.57； 当X=2时，Y=10.14； 当X=3时，Y=9.71；
当X=4时，Y=9.28；  当X=5时，Y=8.86；  当X=6时，Y=8.43；
当X=7时，Y=8；…当X=14时，Y=5；…
因为根据题意X、Y都必须是自然数，
所以，X=7，Y=8．才是符合题意的解．
此时损耗的木条长度是：（7+8-1）×1=14（毫米）．
而当X=14，Y=5时，损耗的木条长度是：（14+5-1）×1=18（毫米）
因为14＜18．所以X=14，Y=5不是符合题意的解．
所以只有当38毫米的木条锯7段，90毫米的木条锯8段时，损耗最少．
答：只有当锯得的38毫米的木条锯为7段、90毫米的木条为8段时，所损耗的木条才能最少．

点评：这是一个解不定方程，求最小值（或最大值）的应用题，解题时要分清题目要求的是什么最小；什么最大．本题中我们要损耗最小，就要每段的长度最大，锯铜管的次数最少．