Question

【题目】已知函数.

（1）曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；

（2）记.

（）讨论的单调性；

（ⅱ）若， 为在上的最小值，求证： .

Answer 1

【答案】(1) ;(2)答案见解析;(3)证明见解析.

【解析】试题分析：（1）先求出 ，由 可得；（2）化简，求出），（ⅰ）讨论时， 两种情况，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间，（ⅱ）若， 在单调递减，在单调递增. ，令，只需利用导数研究函数的单调性，求出证明其为负值即可.

试题解析：（1）

因为在处的切线平行于轴，所以，所以；

（2）

（ⅰ）

若，即时，则由得

当时， ；当时， ；

所以在单调递减，在单调递增.

若，则由得或

构造函数，则

由得，所以在单调递减，在单调递增.

，所以 (当且仅当时等号成立）

①若在单调递增.

②若或，

当时， ；当时， ；

所以在单调递减，在单调递增.

（ⅱ）若， 在单调递减，在单调递增.

，令

则，令，

在单调递减，

，

所以存在唯一的使得，

所以在单调递增，在单调递减

故当时， 又

所以

所以当时，