Question

15．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”如图，在一个边长为1的正方形纸版上，依次贴上面积为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$，…，$\frac{1}{{2}^{n}}$的矩形彩色纸片（n为大于1的整数）．请你用“数形结合”的思想，依数形变化的规律，计算$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 由题意可知正方形的总面积为1，然后，通过观察未贴部分，来确定已贴部分总面积：贴$\frac{1}{2}$，余$\frac{1}{2}$，再贴$\frac{1}{2}$，余$\frac{1}{4}$，则$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$，再贴$\frac{1}{8}$，余$\frac{1}{8}$，则$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$=1-$\frac{1}{8}$，所以，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

解答 解：∵正方形的边长为1，
∴正方形的面积为1，
∵正方形减去未贴部分的面积既是已帖部分的面积，
$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
故答案为：1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题主要考查通过分析总结归纳规律，关键在于用“数形结合”的思想，分析出余下部分的面积，即可推出已帖部分的面积．