Question

n张卡片，每张上写一个不为0的自然数，彼此不同，小李和另外（n-1）个小朋友做游戏，每人任意取-张，共取n次，每次各人记下自己取得的数字后，一轮卡片发完后，再将卡片放回去，最后各人计算自己取得的数字和作为得分，并按得分多少排名．已知小李n次取得的数字各不相同，其余的小朋友的得分彼此不相同，他们（不包括小李）得分之和为2001．问n等于多少？小李最高能是第几名？

Answer 1

考点：数字问题

专题：传统应用题专题

分析：设卡片上的数字为a₁、a₂、a₃、…、a_n，求出每发一轮卡片，所有小朋友（包括小李）的得分和，据此可求出取n次后所有小朋友（包括小李）的得分和是，因为小李n次取得的数字各不相同，可得出小李的得分刚好等于a₁+a₂+a₃+…+a_n，据此可求出n-1个小朋友的得分和，再根据他们（不包括小李）得分之和为2001．将2001分解质因数，分情况讨论即可．

解答： 解：设卡片上的数字为a₁、a₂、a₃、…、a_n，
每发一轮卡片，所有小朋友（包括小李）的得分和是a₁+a₂+a₃+…+a_n，
取n次后，所有小朋友（包括小李）的得分和是n×（a₁+a₂+a₃+…+a_n），
因为小李n次取得的数字各不相同，小李的得分刚好等于a₁+a₂+a₃+…+a_n，n-1个小朋友的得分和为（n-1）×（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=2001=3×23×29．
如果n-1=23，则n=24，此时即便卡片上的数即便是取最小的数，即从1取到24，n-1个小朋友的得分也应为23×（1+2+3+…+24）=6900＞2001，与题设矛盾．
故n-1只能取3，所以n=4，a₁+a₂+a₃+…+a_n=23×29=667．即小李的得分是667，因为3×667=2001，所以其它3人的得分中，必有一个分数大于667，小李最高为第二名．
答：n等于4，小李最高能是第二名．

点评：本题主要考查数字问题，将2001分解质因数，从而得出人数和小李的得分和是解答本题的关键．