Question

3．如图，矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P在边DC上，且△PAB是直角三角形，请在图中标出符合题意的点P，并直接写出PC的长．

Answer 1

分析 以AB的中点O为圆心，AB的一半5为半径作圆，交CD于点P，点P即为所求；设PC=x，则PD=10-x，证△ADP∽△PCB得$\frac{AD}{PC}$=$\frac{DP}{CB}$，即$\frac{4}{x}=\frac{10-x}{4}$，解之可得答案．

解答 解：如图，以AB的中点O为圆心，AB的一半5为半径作圆，交CD于点P，点P即为所求；

设PC=x，则PD=10-x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DAP+∠APD=90°，
∵∠APB=90°，
∴∠APD+∠BPC=90°，
∴∠DAP=∠CPB，
∴△ADP∽△PCB，
∴$\frac{AD}{PC}$=$\frac{DP}{CB}$，即$\frac{4}{x}=\frac{10-x}{4}$，
解得：x=2或x=8，
即PC=2或PC=8．

点评 本题主要考查圆周角定理和相似三角形的判定与性质及矩形的性质，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的性质是解题的关键．