Question

13．已知△ABC是等边三角形，D是AC的中点，F为AB边上一点，且AF=2BF，E为射线BC上一点，∠EDF=120°，则$\frac{CE}{CD}$=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 过D作DG∥BC交AB于G，则DG为△ABC的中位线，根据等边三角形的性质得∠ACB=∠ABC=60°，由DG∥BC，得∠FGD=120°，∠GDC=120°，△AGD为等边三角形，而∠EDF=120°，得∠GDF=∠CDE，易证得△GDF∽△CDE，所以FG：CE=DG：DC，即CE：DC=FG：DG=FG：AG，当AF=2BF，设BF=x，AF=2x，则AB=3x，AG=1.5x，FG=1.5x-x=0.5x，即可得到CE：DC的比值．

解答 解：过D作DG∥BC交AB于G，如图1，
∵D是AC的中点，
∴DG为△ABC的中位线，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠DCE=120°，
又∵DG∥BC，
∴∠FGD=120°，∠GDC=120°，△AGD为等边三角形，
而∠EDF=120°，
∴∠GDF=∠CDE，
∴△GDF∽△CDE，
∴FG：CE=DG：DC，即CE：DC=FG：DG，
而DG=AG=BG，AF=2BF，
设BF=x，AF=2x，则AB=3x，AG=1.5x，FG=1.5x-x=0.5x，
∴CE：DC=FG：DG=FG：AG=1.5x：0.5x=1：3．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质：等边三角形三边相等；三个角都等于60°；也考查了相似三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．