Question

9．如图，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC于点D．点P在边AB上运动，过点P作PE∥BC，与边AC交于点E，连接ED，以PE、ED为邻边作平行四边形PEDF．设线段AP的长为x（0＜x＜6）．
（1）求线段PE的长．（用含x的代数式表示）
（2）当四边形PEDF为菱形时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）由PE与BC平行，得到三角形APE与三角形ABC相似，根据三角形ABC为等边三角形，得到三角形APE为等边三角形，可得出PE=AP=x；
（2）若四边形PEDF为菱形，得到PE=DE=x，由三角形APE为等边三角形得到AE=PE，可得出AE=DE，利用等边对等角得到∠DAC=∠ADE，利用等式的性质得到∠EDC=∠C，利用等角对等边得到DE=EC，即可求出x的值；

解答 解：（1）∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
又∵△ABC是等边三角形，
∴△APE是等边三角形，
∴PE=AP=x（0＜x＜6）；
（2）∵四边形PEDF为菱形，
∴PE=DE=x，
又∵△APE是等边三角形，则AE=PE，
∴AE=DE，
∴∠DAC=∠ADE，
又∵∠ADE+∠EDC=∠DAC+∠C=90°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴DE=EC=AE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$AB=3，
即x=3．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，平行的性质，以及平行四边形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．