Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是长方形，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上且A（10，0），C（0，6），点D在AB边上，将△CBD沿CD翻折，点B恰好落在OA边上点E处．

（1）求点E的坐标；

（2）求折痕CD所在直线的函数表达式；

（3）请你延长直线CD交x轴于点F． ①求△COF的面积；

②在x轴上是否存在点P，使S△OCP=S△COF？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（8，0）；

（2）y=﹣x+6

（3）①54；②点P的坐标为（6，0）或（﹣6，0）．

【解析】（1）根据折叠的性质知CE=CB=10．在在直角△COE中，由勾股定理求得OE=8；

（2）根据OC=6知C（0，6），由折叠的性质与勾股定理，求得D（10，），利用待定系数法求CD所在直线的解析式；

（3）①根据F（18，0），即可求得△COF的面积；②设P（x，0），依S△OCP=S△CDE得×OP×OC=×54，即×|x|×6=18，求得x的值，即可得出点P的坐标．

（1）如图，

∵四边形ABCD是长方形，

∴BC=OA=10，∠COA=90°，

由折叠的性质知，CE=CB=10，

∵OC=6，

∴在直角△COE中，由勾股定理得OE==8，

∴E（8，0）；

（2）设CD所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵C（0，6），

∴b=6，

设BD=DE=x，

∴AD=6-x，AE=OA-OE=2，

由勾股定理得AD2+AE2=DE2

即（6-x）2+22=x2，

解得x=，

∴AD=6-=，

∴D（10，），

代入y=kx+6 得，k=-，

故CD所在直线的解析式为：y=-x+6；

（3）①在y=-x+6中，令y=0，则x=18，

∴F（18，0），

∴△COF的面积=×OF×OC=×18×6=54；

②在x轴上存在点P，使得S△OCP=S△COF，

设P（x，0），依题意得

×OP×OC=×54，即×|x|×6=18，

解得x=±6，

∴在x轴上存在点P，使得S△OCP=S△COF，点P的坐标为（6，0）或（-6，0）．