Question

3．等腰直角三角形ABC的斜边AB的长为4，CD为边AB上的高线，P为CD上的一点，以BP为直角边向下作等腰直角三角形BPE，如图所示，则DE的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接AE，过E作EF⊥AB于F，根据等腰直角三角形的性质得到BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，∠ABC=45°，当点P与C重合时，E与A重合，求得DE=AD=$\frac{1}{2}$AB=2，当点P与D重合时，E在CD的延长线上，求得DE=CD=$\frac{1}{2}$AB=2，当点P在CD的中点时，推出△BCP∽△ABE，根据相似三角形的性质得到∠BAE=∠BCP=45°，$\frac{AE}{PC}$=$\sqrt{2}$，根据等腰直角三角形的性质得到DE=AE=$\sqrt{2}$，此时DE最小．

解答 解：连接AE，过E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
∴∠ABC=45°，
∵当点P与C重合时，E与A重合，
∴DE=AD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵当点P与D重合时，E在CD的延长线上，
∴DE=CD=$\frac{1}{2}$AB=2，
当点P在CD的中点时，
∵PD=PC=$\frac{1}{2}$CD=1，BD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴PB=$\sqrt{5}$，
∵△PBE是等腰直角三角形，
∴∠PBE=45°，BE=$\sqrt{2}$PB=$\sqrt{10}$，
∴∠PBC=∠DBE，
∵$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{PB}{BE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{PB}{BE}$，
∴△BCP∽△ABE，
∴∠BAE=∠BCP=45°，$\frac{AE}{PC}$=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}$，
∴AF=1，
∵AD=2，
∴AF=DF，
∴DE=AE=$\sqrt{2}$，此时DE最小．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．