Question

【题目】综合与实践﹣四边形旋转中的数学

“智慧”数学小组在课外数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．

任务一：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为矩形，连接CG．

（1）请直接写出CG的长是______．

（2）如图2，当矩形AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转）至点G落在边AB上时，请计算DF与CG的长，通过计算，试猜想DF与CG之间的数量关系．

（3）当矩形AEGF绕点A旋转至如图3的位置时，（2）中DF与CG之间的数量关系是否还成立？请说明理由．

任务二：“智慧”数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在ABCD中，∠B=60°，AB=6，AD=8，E，F分别为AB，AD边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接CG．“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着特定的数量关系．

（4）如图5，当AEGF绕点A旋转（比如顺时针旋转），其他条件不变时，“智慧”数学小组发现DF与CG仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系．

Answer 1

【答案】5

【解析】

（1）如图1中，由此EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形．在Rt△CGH中，利用勾股定理即可解决问题；

（2）如图2中，作FP⊥AD于P．利用勾股定理相似三角形的性质，分别求出CG、DF即可解决问题；

（3）成立．连接AG、AC．只要证明△ADF∽△ACG，可得 即可解决问题；

（4）在图4中，通过计算即可解决问题；

（1）如图1中，由此EG交CD于H，则四边形FGHD是矩形．

在Rt△CGH中，GH=DF=4，CH=DH=AE=3，

∴CG= =5．

故答案为：5．

（2）如图2中，作FP⊥AD于P．

在矩形AEGF中，∵AE=3，EG=4，

∴AG=5，BG=AB-AG=1，

在Rt△CBG中，CG= ，

由△APF∽△AEG，可得 ，

∴ ，

∴AP= ，PF= ，DP=AD﹣AP=8﹣，

在Rt△PDF中，DF= ，

∴DF=CG．

（3）成立．理由如下：连接AG、AC．

由旋转可知：∠DAF=∠CAG，

由勾股定理可知：AC=，AG=5，

∵ ，，

∴，

∴△ADF∽△ACG，

∴，

∴DF=CG．

（4）如图4中，延长EG交CD于H，作CK⊥GH于K．

由题意可知四边形FGHD是平行四边形，四边形AEGF是平行四边形，

∴DF=GH=4，DH=FG=AE=3，CH=3，∠CHG=∠D=60°，

在Rt△CHK中，HK=，CK=，GK=GH﹣KH=，

在Rt△CGK中，CG= ，

∴CG=DF．

在图5中，连接AG、AC．

同法可证：△ACG∽△ADF，可得：=，可得CG=DF．