Question

18．如图，等腰△ABC中，AB=AC．
（1）如图，若点S为△ABC外一点，∠ABC=α，∠ASC+∠ABC=180°，求∠BSC（用含α表示）；
（2）若点M为直线BC上的一点，点M到△ABC的两腰的距离为9和3，则△ABC一腰上的高为多少？

Answer 1

分析 （1）由∠ASC+∠ABC=180°知A、B、C、S四点共圆，进而根据圆周角定理有∠CSB=∠BAC，根据等腰三角形性质可得；
（2）过点B作BH⊥EM、BK⊥AC，证△BHM≌△BFM、四边形BHEK是矩形，进而BK=EH=ME-MH=ME-MF=6．

解答 解：（1）∵∠ASC+∠ABC=180°，
∴A、B、C、S四点共圆，
∴∠CSB=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB，
又∵AB=AC，∠ABC=α，
∴∠ABC=∠CAB=α，
∴∠BSC=180°-2α；
（2）如图，过点B作BH⊥EM，BK⊥AC垂足分别为H、K，

又∵AC⊥EM，AF⊥MF
∴AC∥BH，∠BHM=∠F=90°，
∴∠C=∠HBM，
∵AC=AB，∠ABC=∠FBM，
∴∠C=∠ABC，
∴∠HBM=∠FBM，
在△BHM和△BFM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BHM=∠BFM}\\{∠HBM=∠FBM}\\{BM=BM}\end{array}\right.$，
∴△BHM≌△BFM（AAS），
∴MF=MH，
∵BH⊥ME，BK⊥AC，HE⊥AC，
∴四边形BHEK是矩形，
又∵ME=9，MF=3，
∴BK=EH=ME-MH=ME-MF=6．

点评 本题主要考查圆周角定理、全等三角形的判定和性质，证明△BHM≌△BFM、四边形BHEK是矩形是解题关键．