Question

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C₁：y=-mx²+2mx+4（m≠0）与抛物线C₂：y=x²-2x，
（1）抛物线C₁与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．求点A，B的坐标；
（2）若抛物线C₁在-2＜x＜-1这一段位于C₂下方，并且抛物线C₁在1＜x＜3这一段位于C₂上方，求抛物线C₁的解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质,待定系数法求二次函数解析式

专题：计算题

分析：（1）对于y=-mx²+2mx+4，求自变量为0时的函数值即可得到A点坐标；根据二次函数的性质求出抛物线C₁的对称轴即可得到B点坐标；
（2）先求抛物线C₂：y=x²-2x的对称轴得到抛物线C₁和抛物线C₂的对称轴都是直线x=1，根据抛物线的对称性，当抛物线C₁在-2＜x＜-1这一段位于C₂下方，则抛物线C₁在3＜x＜4这一段位于C₂下方，加上抛物线C₁在1＜x＜3这一段位于C₂上方，于是得到两条抛物线的交点横坐标为x=3，利用y=x²-2x可确定交点坐标，然后把交点坐标代入y=-mx²+2mx+4中求出m即可．

解答：解：（1）当x=0时，y=-mx²+2mx+4=4，则A点坐标为（0，4），
抛物线的对称轴为直线x=-

2m

2×(-m)

=1，则B点坐标为（1，0）；
（2）抛物线C₂：y=x²-2x的对称轴为直线x=-

-2

2×1

=1，
则抛物线C₁和抛物线C₂的对称轴都是直线x=1，
由于抛物线C₁在-2＜x＜-1这一段位于C₂下方，则抛物线C₁在3＜x＜4这一段位于C₂下方，
而抛物线C₁在1＜x＜3这一段位于C₂上方，
所以两条抛物线的交点横坐标为x=3，
当x=3时，y=x²-2x9-2×3=3，即两抛物线的交点坐标为（3，3），
把（3，3）代入y=-mx²+2mx+4得-9m+6m+4=3，解得m=

1

3

，
所以抛物线C₁的解析式y=-

1

3

x²+

2

3

x+4．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．