Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣
其中正确的结论个数有（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：

由图象开口向下，可知a＜0，

与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，

又对称轴方程为x=2，所以﹣ ＞0，所以b＞0，

∴abc＞0，故①正确；

由图象可知当x=3时，y＞0，

∴9a+3b+c＞0，故②错误；

由图象可知OA＜1，

∵OA=OC，

∴OC＜1，即﹣c＜1，

∴c＞﹣1，故③正确；

假设方程的一个根为x=﹣ ，把x=﹣ 代入方程可得 ﹣ +c=0，

整理可得ac﹣b+1=0，

两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，

即方程有一个根为x=﹣c，

由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，

∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；

综上可知正确的结论有三个，

故答案为：C．

抛物线开口由a决定，9a+3b+c可由x=3时的函数值看出，由OA=OC可知OA=-c,由图像知ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为-c,由根与系数关系得-cx2=,另一个根为.