Question

【题目】如图1，在ABEF中，AB=2，AF＜AB，现将线段EF在直线EF上移动，在移动过程中，设线段EF的对应线段为CD，连接AD、BC．

（1）在上述移动过程中，对于四边形的说法不正确的是 B

A．面积保持不变 B．只有一个时刻为菱形

C．只有一个时刻为矩形 D．周长改变

（2）在上述移动过程中，如图2，若将△ABD沿着BD折叠得到△A′BD（点A′与点C不重合），A′B交CD于点O．

①试问A′C与BD平行吗？请说明理由；

②若以A′、D、B、C为顶点的四边形是矩形，且对角线的夹角为60°，求AD的长．

Answer 1

【答案】(1)、B；(2)、①、理由见解析；②、1或

【解析】

试题分析：(1)、根据平移的性质进行判断即可；(2)、①根据对折的性质得出对应边和角相等，再根据平行线的判定解答即可； ②根据矩形的性质和等边三角形的性质进行分析解答．

试题解析：(1)、因为平移，AB保持不变，且AB与CD间的距离不变，所以四边形ABCD的面积不变，故A正确；当AD⊥CD时，四边形ABCD可以是矩形，故C正确；因为AD的长度有变化，所以四边形ABCD的周长改变，故D正确；

(2)、①、A'C∥BD．理由如下：

如图2，由ABEF可得，AB=CD，AB∥CD，又根据对折可知AB=A'B，∠3=∠2，∴A'B=CD，∠1=∠3，

∴OD=OB．∴OA'=OC， ∴∠4=∠5．∵∠BOD=∠A'OC，∴∠4+∠5=∠1+∠3， 即∠1=∠4， ∴A'C∥BD．

②、如图3，由①知CD=AB=2，∠1=∠2，∠A=∠3．当四边形A'DBC矩形时，有∠DBC=90°，OA'=OD=OB=OC=1．

当∠A'OD=60°，则∠DOB=120°，∴∠1=30°．∴∠2=30°，∠A=∠3=60°．∴∠ADB=90°．

∴在Rt△ADB中，AD=AB=1．

当∠DOB=60°（如图4），则△ODB为正三角形，∴∠2=∠1=60°，∠A=∠3=30°BD=OD=1．∴∠ADB=90°

∴在Rt△ADB中，tan∠2=，∴AD=BDtan∠2=1tan60°=．

综上可得，AD的长为1或．