【题目】如图,将抛物线平移后,新抛物线经过原抛物线的顶点,新抛物线与轴正半轴交于点,联结,,设新抛物线与轴的另一交点是,新抛物线的顶点是.
(1)求点的坐标;
(2)设点在新抛物线上,联结,如果平分,求点的坐标;
(3)在(2)的条件下,将抛物线沿轴左右平移,点的对应点为,当和相似时,请直接写出平移后得到抛物线的表达式.
【答案】(1);(2);(3)或
【解析】
(1)设点D坐标(a,b),可得新抛物线解析式为:y=-(x-a)2+b,先求出点C,点B坐标,代入解析式可求解;
(2)通过证明△AOC∽△CHD,可得∠ACO=∠DCH,可证EC∥AO,可得点E纵坐标为4,即可求点E坐标;
(3)分两种情况讨论,由相似三角形的性质可求点F坐标,即可求平移后得到抛物线的表达式.
(1)∵抛物线y=-x2+4的顶点为C,
∴点C(0,4)
∴OC=4,
∵tanB=4=,
∴OB=1,
∴点B(1,0)
设点D坐标(a,b)
∴新抛物线解析式为:y=-(x-a)2+b,且过点C(0,4),点B(1,0)
∴
解得:
∴点D坐标(-1,)
(2)如图1,过点D作DH⊥OC,
∵点D坐标(-1,)
∴新抛物线解析式为:y=-(x+1)2+,
当y=0时,0=-(x+1)2+,
∴x1=-3,x2=1,
∴点A(-3,0),
∴AO=3,
∴,
∵点D坐标(-1,)
∴DH=1,HO=,
∴CH=OH-OC=,
∴,
∴,且∠AOC=∠DHC=90°,
∴△AOC∽△CHD,
∴∠ACO=∠DCH,
∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE,
∴∠ACO+∠ACE=∠DCH+∠DCE,且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE=180°
∴∠ECO=∠ECH=90°=∠AOB,
∴EC∥AO,
∴点E纵坐标为4,
∴4=-(x+1)2+,
∴x1=-2,x2=0,
∴点E(-2,4),
(3)如图2,
∵点E(-2,4),点C(0,4),点A(-3,0),点B(1,0),点D坐标(-1,)
∴DE=DC=,,AB=3+1=4,
∴∠DEC=∠DCE,
∵EC∥AB,
∴∠ECA=∠CAB,
∴∠DEC=∠CAB,
∵△DEF和△ABC相似
∴或,
∴或
∴EF=或
∴点F(-,4)或(,4)
设平移后解析式为:y=-(x+1-c)2+4,
∴4=-(-+1-c)2+4或4=-(+1-c)2+4,
∴c1=,c2=
∴平移后解析式为:y=-(x+)2+4或y=-(x-)2+4,
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【题目】如图,A,B两地被池塘隔开,小明通过下列方法测出了A、B间的距离:先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12m,由此他就知道了A、B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是( )
A. AB=24m B. MN∥AB
C. △CMN∽△CAB D. CM:MA=1:2
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【题目】为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度,增强同学们的环保意识某校数学兴趣小组设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷,并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试,根据测试成绩分布情况,将测试成绩分成A、B、C、D四组,绘制了如下统计图表
问卷测试成绩分组表
组别 | 分数/分 |
A | 60<x≤70 |
B | 70<x≤80 |
C | 80<x≤90 |
D | 90<x≤100 |
(1)本次抽样调查的样本总量是 ;
(2)样本中,测试成绩在B组的频数是 ,D组的频率是 ;
(3)样本中,这次测试成绩的中位数落在 组;
(4)如果该校共有880名学生,请估计成绩在90<x≤100的学生约有 人.
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【题目】为应对新型冠状病毒,某药店老板到厂家选购、两种品牌的医用外科口罩,品牌口罩每个进价比品牌口罩每个进价多0.7元,若用7200元购进品牌的数量是用5000元购进品牌数量的2倍.
(1)求、两种品牌的口罩每个进价分别为多少元?
(2)若品牌口罩每个售价为2.1元,品牌口罩每个售价为3元,药店老板决定一次性购进、两种品牌口罩共8000个,在这批口罩全部出售后所获利润不低于3000元.则最少购进品牌口罩多少个?
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【题目】中雅培粹学校举办运动会,全校有3000名同学报名参加校运会,为了解各类运动赛事的分布情况,从中抽取了部分同学进行统计:A.田径类,B.球类,C.团体类,D.其他,并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
(1)这次统计共抽取了 位同学,扇形统计图中的 ,的度数是 ;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)估计全校共多少学生参加了球类运动.
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【题目】如图,已知拋物线,将抛物线沿轴翻折,得到拋物线.
(1)求出抛物线的函数表达式;
(2)现将抛物线向左平移个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为,与轴的交点从左到右依次为,;将抛物线向右也平移个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为,与轴交点从左到右依次为,.在平移过程中,是否存在以点,,,为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某中学九年级学生步行到郊外春游.一班的学生组成前队,速度为4km/h ,二班的学生组成后队,速度为6km/h .前队出发1h 后,后队才出发,同时,后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络,他骑车的速度为12km/h.若不计队伍的长度,如图,折线ABC ,A-B-C 分别表示后队,联络员在行进过程中,离前队的路程 与后队行进时间x(h) 之间的部分函数图象.
(1) 求线段AB 对应的函数关系式;
(2) 求点E 的坐标,并说明它的实际意义;
(3) 联络员从出发到他折返后第一次与后队相遇的过程中,当x 为何值时,他离前队的路程与他离后队的路程相等?
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