Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，BC=9cm，DC=13cm，点P是线段AB上一个动点，设BP为xcm，△PCD的面积为ycm²．
（1）求AD的长；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
（3）在线段AB上是否存在点P，使得△PCD是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形，
∴DE=AB=12，
AD=BE，
在Rt△DEC中，EC==5，
∴AD=BC-EC=4．

（2）y=S_梯形ABCD-S_△ADP-S_△BCP
=（4+9）×12-×4×（12-x）-×9x，
∴y=-x+54（0≤x≤12）
∵y随x的增大而减小，
∴当x_min=0时，y_max=54．

（3）分两种情况：
①若∠DPC=90°，△PCD为直角三角形，只需∠1+∠2=90°，
即∠1=∠3，
只需△ADP∽△BPC，
只需=，
即=，
解得x₁=x₂=6，此时AP=BP．
∴存在AB中点P，使△PCD为直角三角形．

②∠PDC=90°，则有PD²+DC²=PC²
4²+（12-x）²+13²=x²+9²
解得x=．
综上，当x=6或时，△PDC为直角三角形．
分析：（1）过D作BC的垂线，垂足为E，则四边形ABED是矩形，在Rt△CDE中，由勾股定理可求EC的值，进而可求AD的长；
（2）根据面积公式可求y=S_梯形ABCD-S_△ADP-S_△BCP，代值化简得y=-x+54（0≤x≤12），
可求当x_min=0时，y_max=54．
（3）有两种情况：可先证当∠DPC=90°，△PCD为直角三角形时，使得△PAD∽△PBC，代值求得AP=6．或当②∠PDC=90°时，由勾股定理可求x=．
点评：本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．