Question

（2013•苍梧县二模）如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥CD，垂足为C，弦DE∥OA，直线AE，CD相交于点B．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）如果AC=1，BE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OE，证明△ACO≌△AEO，推出∠AEO=∠ACO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）求出AB、BC，证△BEO∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．

解答：（1）证明：连接OE，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∵DE∥AO，
∴∠COA=∠ODE，∠AOE=∠OED，
∴∠COA=∠AOE，
∵在△ACO和△AEO中

OC=OE ∠COA=∠EOA OA=OA

∴△ACO≌△AEO（SAS），
∴∠AEO=∠ACO，
∵AC⊥CD，
∴∠ACO=90°，
∴∠AEO=90°，
∵OE为半径，
∴直线AB是⊙O的切线．

（2）解：设⊙O的半径是R，
∵△ACO≌△AEO，
∴AC=AE=1，
∴AB=1+2=3，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC=

32-12

=2

2

，
∵∠BEO=90°=∠ACO，∠B=∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴

OE

AC

=

BO

AB

，
∴

R

1

=

2 2 -R

3

，
R=

2

2

，
即⊙O的半径是

2

2

．

点评：本题考查了切线判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．