Question

如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为

AB

上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM²-FN²的值为（　　）

• A、1
• B、2

  3

• C、2
• D、

  33

Answer 1

考点：垂径定理,含30度角的直角三角形,勾股定理

专题：

分析：延长ME交⊙O于G，根据圆的中心对称性可得FN=EG，过点O作OH⊥MG于H，连接MO，根据圆的直径求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH、EH，再根据垂径定理可得MG=2MH，然后利用平方差公式从而得解．

解答： 解：如图，延长ME交⊙O于G，
∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，
∴FN=EG，
过点O作OH⊥MG于H，连接MO，
∵⊙O的直径AB=6，
∴OE=OA-AE=

1

2

×6-

1

3

×6=3-2=1，
OM=

1

2

×6=3，
∵∠MEB=60°，
∴OH=OE•sin60°=1×

3

2

=

3

2

，
在Rt△MOH中，MH=

OM2-OH2

=

32-( 3 2 )2

=

33

2

，
在Rt△EOH中，EH=

OE2-OH2

=

12-( 3 2 )2

=

1

2

，
根据垂径定理，MG=2MH=2×

33

2

=

33

，
即EM+FN=

33

，EM-FN=2EH=2×

1

2

=1，
∴EM²-FN²=（EM+FN）（EM-FN）=

33

×1=

33

，
故选D．

点评：本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线并根据圆的中心对称性得到FN=EG是解题的关键，也是本题的难点．