Question

已知抛物线的对称轴是直线x=1，在x轴上截得的线段长是4，且过点（1，-2）的直线有一个交点是（2，-3）．
（1）设抛物线与x轴两个交点A、B点P在直线上，若△ABP是直角三角形，求P的坐标．
（2）若∠ABP是锐角，试确定点P的横坐标取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式，根据二次函数对称性求出点A、B的坐标，然后分①点A在直线上，再分∠ABP=90°时，点P与点B的横坐标相等，∠APB=90°时，△ABP是等腰直角三角形，点P为直线与对称轴的交点，②点B在直线上同理求解；
（2）根据（1）的计算结果解答即可．

解答：解：（1）设直线解析式为y=kx+b，
则

k+b=-2 2k+b=-3

，
解得

k=-1 b=-1

，
所以，直线解析式为y=-x-1，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，在x轴上截得的线段长是4，
∴点A、B到对称轴的距离等于

1

2

×4=2，
∴点A、B的坐标为（-1，0）（3，0）或（3，0）（-1，0），
①如图1，点A在直线上时，若∠ABP=90°，则点P与点B的横坐标相等，为3，
此时，y=-3-1=-4，
点P的坐标为（3，-4），
若∠APB=90°，∵直线AP与x轴的夹角∠BAP=45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∴点P为直线与对称轴的交点，
此时，y=-1-1=-2，
点P的坐标为（1，-2）；
②如图2，点B在直线上时，若∠BAP=90°，
则点P的坐标为（3，-4），
若∠APB=90°，则点P的坐标为（1，-2）；

（2）若点A在点B的左边，如图1，则点P的横坐标取值范围是x＜3；
若点A在点B的右边，如图2，则点P的横坐标取值范围x＞-1．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的对称性，直角三角形的性质，本题的关键在于直线恰好经过抛物线与x轴的左边的交点．