【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.
(1)求证:AE=DF;
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值,如果不能,说明理由;
(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
【答案】解:(1)证明:∵在Rt△ABC中,∠C=90°﹣∠A=30°,
∴AB=AC=×60=30cm。
∵CD=4t,AE=2t,
又∵在Rt△CDF中,∠C=30°,∴DF=CD=2t。∴DF=AE。
(2)能。
∵DF∥AB,DF=AE,∴四边形AEFD是平行四边形。
当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,即60﹣4t=2t,解得:t=10。
∴当t=10时,AEFD是菱形。
(3)若△DEF为直角三角形,有两种情况:
①如图1,∠EDF=90°,DE∥BC,
则AD=2AE,即60﹣4t=2×2t,解得:t=。
②如图2,∠DEF=90°,DE⊥AC,
则AE=2AD,即2t =2×60-4t,解得:t=12。
综上所述,当t=或12时,△DEF为直角三角形
【解析】
试题(1)利用t表示出CD以及AE的长,然后在直角△CDF中,利用直角三角形的性质求得DF的长,即可证明。
(2)易证四边形AEFD是平行四边形,当AD=AE时,四边形AEFD是菱形,据此即可列方程求得t的值。
(3)△DEF为直角三角形,分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况讨论。
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【题目】已知,如图,在平行四边形ABCD中,AC、BD相交于O点,点E、F分别为BO、DO的中点,连接AF,CE.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)如果E,F点分别在DB和BD的延长线上时,且满足BE=DF,上述结论仍然成立吗?请说明理由.
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【题目】如图1,点A,B,O,C为数轴上四点,点A对应数a(a<﹣2),点O对应0,点C对应3,AB=2 (AB表示点A到点B的距离).
(1)填空:点C到原点O的距离 ,:点B对应的数 .(用含有a的式子)
(2)如图2,将一刻度尺放在数轴上,刻度尺上“6cm”和“8.7cm”分别对应数轴上的点O和点C,若BC=5,求a的值和点A在刻度尺上对应的刻度.
(3)如图3,在(2)的条件下,点A以1单位长度/秒的逮度向右运动,同时点C向左运动,若运动3秒时,点A和点C到原点D的距离相等,求点C的运动速度.)
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【题目】如图,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求不等式的解集_________(请直接写出答案).
(3)求△AOB的面积;
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【题目】(8分)某校有学生2000名,为了了解学生在篮球、足球、排球和乒乓球这四项球类运动中最喜爱的一项球类运动情况,对学生开展了随机调查,丙将结果绘制成如下的统计图.
请根据以上信息,完成下列问题:
(1)本次调查的样本容量是 ;
(2)某位同学被抽中的概率是 ;
(3)据此估计全校最喜爱篮球运动的学生人数约有 名;
(4)将条形统计图补充完整.
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【题目】根据如下解方程=的过程,仿照实例在每个步骤前面的括号内填写该步骤的名称,后面的括号内填写这样变形的依据,在最后的横线上写出方程的解.
解:原方程可变形为.(分数的基本性质)
去分母,得3(3x+5)=2(x–1).(__________)
去括号,得9x+15=2x–2.(__________)
(__________),得9x–2x=–15–2.(__________)
合并同类项,得7x=–17.
(__________),得x=__________.
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【题目】下列变形中:
①由方程=2去分母,得x﹣12=10;
②由方程x=两边同除以,得x=1;
③由方程6x﹣4=x+4移项,得7x=0;
④由方程2﹣两边同乘以6,得12﹣x﹣5=3(x+3).
错误变形的个数是( )个.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【题目】如图,在△ABC中,D为AB的中点,DE∥BC,交AC于点E,DE∥AC,交BC于点F.
(1)求证:DE=BF;
(2)连接EF,请你猜想线段EF和AB有何关系?并对你的猜想加以证明.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=13,DE是△ABC的中位线,F是DE的中点,已知B(-1,0),C(9,0),则点F的坐标为______________.
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