Question

13．已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B和点C的坐标分别为（3，0）（0，-3），抛物线的对称轴为x=1，D为抛物线 的顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，写出点P点的坐标，若不存在，说明理由．
（3）点E为线段BC上一动点，过点E作x轴的垂线，与抛物线交于点F，求四边形ACFB面积的最大值，以及此时点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）由B、C的坐标，结合抛物线对称轴，根据待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由抛物线解析式可求得D点坐标，可设P点坐标为（1，t），则可表示出PC、PD和CD的长，由等腰三角形可分PC=PD、PC=CD和PD=CD三种情况分别得到关于t的方程，可求得P点坐标；
（3）由B、C可求得直线BC解析式，可设出F点坐标，则可表示出E点坐标，从而可求得EF的长，则可表示出△CBF的面积，从而可表示出四边形ACFB的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，及E点的坐标．

解答 解：
（1）∵点B和点C的坐标分别为（3，0）（0，-3），抛物线的对称轴为x=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3；
（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），且C（0，-3），
∵P点为对称轴上的一点，
∴可设P（1，t），
∴PC=$\sqrt{{1}^{2}+（t+3）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$，PD=|t-4|，CD=$\sqrt{{1}^{2}+（-4+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵△PCD为等腰三角形，
∴分PC=PD、PC=CD和PD=CD三种情况，
①当PC=PD时，则$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$=|t-4|，解得t=$\frac{3}{7}$，此时P点坐标为（1，$\frac{3}{7}$）；
②当PC=CD时，则$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$=$\sqrt{2}$，解得t=-2或t=-4（与D点重合，舍去），此时P点坐标为（1，-2）；
③当PD=CD时，则|t-4|=$\sqrt{2}$，解得t=4+$\sqrt{2}$或t=4-$\sqrt{2}$，此时P点坐标为（1，4+$\sqrt{2}$）或（1，4-$\sqrt{2}$）；
综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（1，$\frac{3}{7}$）或（1，-2）或（1，4+$\sqrt{2}$）或（1，4-$\sqrt{2}$）；
（3）∵B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC解析式为y=x-3，

∵E点在直线BC上，F点在抛物线上，
∴设F（x，x²-2x-3），E（x，x-3），
∵点F在线段BC下方，
∴EF=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x，
∴S_△BCF=$\frac{1}{2}$EF•OB=$\frac{1}{2}$×3（-x²+3x）=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，且S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∴S_{四边形ACFB}=S_△ABC+S_△BCF=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$+6=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，S_{四边形ACFB}有最大值，最大值为$\frac{75}{8}$，此时E点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
综上可知四边形ACFB面积的最大值$\frac{75}{8}$，此时点E的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中用P点坐标表示出PC、PC及CD的长是解题的关键，注意分三种情况，在（3）中用F点的坐标表示出四边形ACFB的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．