Question

计算下列各题：
（1）（a-1）（a+1）=________．（a-1）（a²+a+1）=________．（a-1）（a³+a²+a+1）=________…
根据前面各式的规律，请你写出：（a-1）（aⁿ+a^n-1+a^n-2+…+a²+a+1）=________．
（2）利用（1）的结论，计算：2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2²+2+1

Answer 1

解：根据题意：（1）（a-1）（a+1）=a²-1；
（a-1）（a²+a+1）=a³-1；
（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1；
故：（a-1）（aⁿ+a^n-1+a^n-2+…+a²+a+1）=aⁿ⁺¹-1．

（2）根据以上分析（1）2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1，
=（2-1）（2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2+1），
=2¹⁰⁰-1；
分析：根据平方差公式和立方差公式可得前2个式子的结果，利用多项式乘以多项式的方法可得出第3个式子的结果；从而总结出规律是（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=x¹⁰⁰-1，根据上述结论计算下列式子即可．
点评：主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．