Question

9．猜想，任意四边形的四边中点的连线是什么四边形？平行四边形、矩形、菱形、正方形呢？（归纳、总结）

Answer 1

分析 根据平行四边形的定义来判定平行四边形；根据矩形，菱形，正方形的判定方法来判定；

解答 （1）一个任意四边形的各边中点连线组成的四边形（中点四边形）是平行四边形．
证明：在任意四边形中，作出2条对角线，则中位线中相对的两条与对应的中位线平行，且长度均为对角线的$\frac{1}{2}$，所以任意四边形的各边中点连线组成的四边形中，对边相等且平行，由此可以证明中点四边形为平行四边形．
如果原四边形为矩形，则形成的中点四边形为菱形；
如果原四边形为菱形，则形成的中点四边形为矩形；
如果原四边形为正方形，则形成的中点四边形为正方形．
证明：原四边形为矩形，则其对角线长度相等，再根据（1）的证明可知，中点四边形为平行四边形，
所以此平行四边形的四条边相等，可以证明中点四边形为菱形；
原四边形为菱形，则其对角线互相垂直，再根据（1）的证明可知，中点四边形为平行四边形，
所以此平行四边形的对边垂直，可以证明中点四边形为矩形；
原四边形为正方形，则其对角线互相垂直，且对角线长度相等，再根据（1）的证明可知，中点四边形为平行四边形，所以中点平行四边形的四条边相等且对边垂直，可以证明中点四边形为正方形．

点评 此题综合运用了三角形的中位线定理和特殊四边形的判定定理．
熟记结论：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形；
顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形；
顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所得四边形是矩形；
顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得四边形是正方形．