Question

5．如图，⊙M的圆心M（-1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A．经过点A的一条直线l解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（-4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：直线l是⊙M的切线；
（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E；PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小．若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x+4），将点M的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．先求得点A和点B的坐标，可求得，可得到AG、ME、OA、OB的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明∠MAG=∠ABD，故此可证明AM⊥AB；
（3））先证明∠FPE=∠FBD．则PF：PE：EF=$\sqrt{5}$：2：1．则△PEF的面积=$\frac{1}{5}$PF²，设点P的坐标为（x，-$\frac{2}{9}$x²-$\frac{4}{9}$x+$\frac{16}{9}$），则F（x，-$\frac{1}{2}$x+4）．然后可得到PF与x的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x+4），将点M的坐标代入得：-9a=2，解得：a=-$\frac{2}{9}$．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{9}$x²-$\frac{4}{9}$x+$\frac{16}{9}$．
（2）连接AM，过点M作MG⊥AD，垂足为G．

把x=0代入y=-$\frac{1}{2}$x+4得：y=4，
∴A（0，4）．
将y=0代入得：0=-$\frac{1}{2}$x+4，解得x=8，
∴B（8，0）．
∴OA=4，OB=8．
∵M（-1，2），A（0，4），
∴MG=1，AG=2．
∴tan∠MAG=tan∠ABO=$\frac{1}{2}$．
∴∠MAG=∠ABO．
∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠MAG+∠OAB=90°，即∠MAB=90°．
∴l是⊙M的切线．
（3）∵∠PFE+∠FPE=90°，∠FBD+∠PFE=90°，
∴∠FPE=∠FBD．
∴tan∠FPE=$\frac{1}{2}$．
∴PF：PE：EF=$\sqrt{5}$：2：1．
∴△PEF的面积=$\frac{1}{2}$PE•EF=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$PF•$\frac{\sqrt{5}}{5}$PF=$\frac{1}{5}$PF²．
∴当PF最小时，△PEF的面积最小．
设点P的坐标为（x，-$\frac{2}{9}$x²-$\frac{4}{9}$x+$\frac{16}{9}$），则F（x，-$\frac{1}{2}$x+4）．
∴PF=（-$\frac{1}{2}$x+4）-（-$\frac{2}{9}$x²-$\frac{4}{9}$x+$\frac{16}{9}$）=-$\frac{1}{2}$x+4+$\frac{2}{9}$x²+$\frac{4}{9}$x-$\frac{16}{9}$=$\frac{2}{9}$x²-$\frac{1}{18}$x+$\frac{20}{9}$=$\frac{2}{9}$（x-$\frac{1}{8}$）²+$\frac{71}{32}$．
∴当x=$\frac{1}{8}$时，PF有最小值，PF的最小值为$\frac{71}{32}$．
∴P（$\frac{1}{8}$，$\frac{55}{32}$）．
∴△PEF的面积的最小值为=$\frac{1}{5}$×（$\frac{71}{32}$）²=$\frac{5041}{5120}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、锐角三角函数的定义，列出PF与x的函数关系式是解题的关键．