Question

15．已知如图：Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，BD平分∠ABC，AE、BD相交于O，OF⊥BD，OH⊥AB，下列结论：①OE平分∠BOF；②BF+AD=AB；③OF=OD；④$\frac{CF+CD}{OH}$为定值，成立的有（　　）

• A． ①②③④
• B． ②④
• C． ①③
• D． ①②④

Answer 1

分析 ①要想证明OE平分∠BOF，就要证明∠BOE=∠EOF，利用对顶角相等的性质，找到∠MOA和∠DOA，易证∠MOA=∠DOA，结论正确；②③④均由①中得证得结论推导出；故最终答案①②③④均正确．

解答 解：如图，①延长EO交AB于点M，作OI⊥BC，OG⊥AC，
∵AE平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴OI=OH，
∵OF⊥BD，
∴∠BFO=∠BMO，
∴△OIF≌△OHM（AAS），
∴∠IOF=∠HOM，
∵∠IOF+∠FOG=∠DOG+∠FOG=90°，
∴∠IOF=∠GOD，
∴∠HOM=∠GOD，
∴△OHM≌△OGM（AAS），
∴∠MOA=∠DOA=∠EOF=∠EOB（对顶角相等），
∴OE平分∠BOF，
故①正确；
②由①知，BF=BM，AD=AM，
∴BF+AD=BM+AM=AB，
故②正确；
③由①知，OF=OM=OD，
故③正确；
④延长AC，OF交于点K，易知，
△KCF∽△KGO，△BOI∽△BDC，
∴$\frac{CF}{OG}$和$\frac{CD}{OI}$是定值，
∵$\frac{CF+CD}{OH}$=$\frac{CF}{OH}+\frac{CD}{OH}=\frac{CF}{OG}+\frac{CD}{OI}$，
∴$\frac{CF+CD}{OH}$为定值，
故④正确．
故答案选：A．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，对顶角相等，相似比为定值最终判定出①②③④全部正确．解决本题的关键由三角形角平分线的性质入手，即角平分线上的点到角两边的距离相等．此题难度较大，好题．