Question

20．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2，CH⊥AB于点H，AE⊥BC于点E，CE：EB=1：4，F是CD上一点，FG⊥CD于点G．
（1）求CH的长；
（2）如果四边形CEGF的面积与△ABE的面积比为1：4，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）设CE=x，BE=4x，则BC=5x，通过△ABE∽△CHB，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{BH}$，根据等腰梯形的性质得到BH=$\frac{1}{2}$（AB-CD）=1，即可得到结论；
（2）延长DC，AE交于P，通过△PCE∽△ABE，得到$\frac{PE}{AE}$=$\frac{PC}{AB}=\frac{CE}{BE}=\frac{1}{4}$，求出PC=1，PE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，根据已知条件得到$\frac{{S}_{△PEC}}{{S}_{△PFG}}$=$\frac{1}{3}$，由△PEC∽△PFG，得到$\frac{PE}{PF}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△PEC}}{{S}_{△PFG}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵CE：EB=1：4，
∴设CE=x，BE=4x，则BC=5x，
∵CH⊥AB，AE⊥BC，
∴∠CHB=∠AEB=90°，∵∠B=∠B，
∴△ABE∽△CHB，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{BH}$，
∵在等腰梯形ABCD中，BH=$\frac{1}{2}$（AB-CD）=1，
∴$\frac{4}{5x}=\frac{4x}{1}$，
∴x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴BC=$\sqrt{5}$，
∴CH=$\sqrt{B{C}^{2}-B{H}^{2}}$=2；

（2）延长DC，AE交于P，
∵AB=4，BE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵CD∥AB，
∴△PCE∽△ABE，
∴$\frac{PE}{AE}$=$\frac{PC}{AB}=\frac{CE}{BE}=\frac{1}{4}$，
∴PC=1，PE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{{S}_{△PCE}}{{S}_{△ABE}}$=$\frac{1}{8}$，
∵四边形CEGF的面积与△ABE的面积比为1：4，
∴$\frac{{S}_{△PEC}}{{S}_{△PFG}}$=$\frac{1}{3}$，
∵FG⊥CD，
∴∠PFG=∠PEC=90°，∠P=∠P，
∴△PEC∽△PFG，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△PEC}}{{S}_{△PFG}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴PF=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴CF=$\frac{\sqrt{15}-1}{5}$．

点评 本题考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．