Question

3．已知直线l：y=2x+1和抛物线C₁：y=a（x-t-2）²+t²（a，t是常数，a≠0，t≠0），抛物线C₁与x轴交于点A（2，0）
（1）求a的值；
（2）若t＞0，把抛物线C₁向左平移t个单位后得抛物线C₂，若抛物线C₂与直线l有唯一公共点M，求平移后的抛物线C₂解析式；
（3）若点N是抛物线C₂的顶点，在抛物线C₂上是否存在点Q，使△MNQ是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（2，0）代入C₁得到a（2-t-2）²+t²=0，根据a≠0，t≠0，可求a的结果；
（2）根据平移的性质可得C₂：y=-（x-2）²+t²，根据判别式可得t的值，从而得到抛物线C₂解析式；
（3）由（2）把t=2代入①得x=1，得M（1，3），N（2，4），则直线NA是对称轴，分两种情况：①作MQ₁⊥NA于B交抛物线于点Q₁，②若∠NMQ₂=90°，作MH⊥x轴于点C．进行讨论可求点Q的坐标．

解答 解：（1）把A（2，0）代入C₁得到：a（2-t-2）²+t²=0，
即（1+a）t²=0，
∵a≠0，t≠0，
∴a=-1；
（2）由（1）得C₁：y=-（x-t-2）²+t²，
∵把抛物线C₁向左平移t个单位后得抛物线C₂，
∴C₂：y=-（x-2）²+t²，
令-（x-2）²+t²=2x+1，
整理得x²-2x+5-t²=0，①
∵抛物线C₂与直线l有唯一公共点M，
∵△=4-4×1×（5-t²）=0，
∴t²=4，
∵t＞0，
∴t=2，
∴抛物线C₂解析式为：y=-（x-2）²+4；
（3）存在点Q，使△MNQ是直角三角形，
由（2）把t=2代入①得x=1，得M（1，3），N（2，4），则直线NA是对称轴，
①作MQ₁⊥NA于B交抛物线于点Q₁，
∵MB=BQ₁=NB=1，
∴∠MNQ₁=90°，
∴Q₁（3，3）；
②若∠NMQ₂=90°，作MH⊥x轴于点C．
∵∠NMQ₁=45°，
∴∠Q₂MQ₁=45°，
∴∠CMQ₂=∠CQ₂M=45°，
∴CM=CQ₂，
设Q（m，-m²+4m），
∴m-1=3-（-m²+4m），
解得m₁=1（舍去），m₂=4，
∴Q₂（4，0）
综上所述，存在点Q₁（3，3），Q₂（4，0），使△MNQ是直角三角形．

点评 此题考查了抛物线解析式的确定，平移的性质，判别式，直角三角形的性质等重要知识点，（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．