如图.一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+6的图象分别与y轴.x轴交于点A.B.点P从点B出发.沿BA以每秒1个单位的速度向点A运动.当点P到达点A时停止运动.设点P的运动时间为t秒．(1)点P在运动的过程中.若某一时刻.△OPA的面积为12.求此时P点坐标,的基础上.设点Q为y轴上一动点.当PQ+BQ的值最小时.求Q点坐标,(3)在整个运动过程中.当t为何� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+6的图象分别与y轴、x轴交于点A、B，点P从点B出发，沿BA以每秒1个单位的速度向点A运动，当点P到达点A时停止运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）点P在运动的过程中，若某一时刻，△OPA的面积为12，求此时P点坐标；
（2）在（1）的基础上，设点Q为y轴上一动点，当PQ+BQ的值最小时，求Q点坐标；
（3）在整个运动过程中，当t为何值时，△AOP为等腰三角形？

分析（1）可求得A、B的坐标，求得AB的长，可求得AB边上的高，用t表示出AP的长，利用面积可求得t的值，过P分别作x轴和y轴的垂线，可求得P点坐标；
（2）可先求得B点关于y轴的对称点B′的坐标，连接PB′，交y轴于点Q，再求得走红PB′的解析式，可求得满足条件的Q点坐标；
（3）可用t表示出BP、AP的长，分AP=AO、AP=OP和OP=AO三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．

解答解：
（1）在y=-$\frac{3}{4}$x+6令x=0，可得y=6，令y=0，可得x=8，
∴A（0，6），B（8，0），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=10，
∴AB边上的高为$\frac{24}{5}$，
∵P点的运动时间为t，
∴BP=t，则AP=10-t，
当△AOP面积为12时，则有$\frac{1}{2}$AP×$\frac{24}{5}$=12，即$\frac{1}{2}$（10-t）×$\frac{24}{5}$=12，解得t=5，
即当P为AB的中点，
如图1，过P作PE⊥x轴，PF⊥y轴，垂足分别为E、F，

则PF=$\frac{1}{2}$OB=4，PE=$\frac{1}{2}$OA=3，
∴P（4，3）；
（2）由B（8，0）可知其关于y轴的对称点为B′（-8，0），
连接PB′交y轴于点Q，如图2，

则B′Q=BQ，
∴PQ+BQ最小，
设直线PB′的解析式为y=kx+b，
把P、B′点的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{0=-8k+b}\\{3=4k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线PB′的解析式为y=$\frac{1}{4}$x+2，
∴Q点的坐标为（0，2）；
（3）由题意可知BP=t，AP=10-t，
当△AOP为等腰三角形时，有AP=AO、AP=OP和AO=OP三种情况．
①当AP=AO时，则有10-t=6，可解得t=4；
②当AP=OP时，过P作PM⊥AO，垂足为M，如图3，

则M为AO中点，故P为AB中点，此时t=5；
③当AO=OP时，过O作ON⊥AB，垂足为N，过P作PH⊥OB，垂足为H，如图4，

则AN=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$（10-t），
∵PH∥AO，
∴△AOB∽△PHB，
∴$\frac{PB}{PH}$=$\frac{AB}{AO}$，即$\frac{t}{PH}$=$\frac{10}{6}$
∴PH=$\frac{3}{5}$t，
又∠OAN+∠AON=∠OAN+PBH=90°，
∴∠AON=∠PBH，且∠ANO=∠PHB，
∴△ANO∽△PHB，
∴$\frac{PB}{AO}$=$\frac{PH}{AN}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{\frac{3}{5}t}{\frac{1}{2}（10-t）}$，可解得t=$\frac{14}{5}$；
综上可知当t的值为4、5和$\frac{14}{5}$时，△AOP为等腰三角形．

点评本题主要考查一次函数的综合应用，涉及知识点有直角三角形的性质、轴对称的应用、等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质等．在（1）中求得t的值是解题的关键，在（2）中确定出Q点的位置是解题的关键，在（3）中分三种情况讨论，其中AO=AP时求得t的值是解题的难点．本题考查知识点较多，综合性较强，但所考查知识比较基础，难度适中．

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