Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）在第一象限．以P为圆心的圆经过原点，与y轴的另一个交点为A．点Q是线段OA上的点（不与O，A重合），过点Q作PQ的垂线交⊙P于点B（m，n），其中m≥0．
（1）若b=5，则点A坐标是

 

；
（2）在（1）的条件下，若OQ=8，求线段BQ的长；
（3）若点P在函数y=x²（x＞0）的图象上，且△BQP是等腰三角形．
①直接写出实数a的取值范围：

 

；
②在

1

2

，

6

4

，

10

这三个数中，线段PQ的长度可以为

 

，并求出此时点B的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）过点P作PH⊥OA于点H，由垂径定理可求出OA的长，进而可求出A的坐标；
（2）连接BP、OP，由已知条件易求QH，在Rt△QHP中，由勾股定理可得：PQ²=QH²+PH²=9+PH²，在RtPHO中，由勾股定理可得：PO²=OH²+PH²=25+PH²=BP²，
进而在RtBQP中，BQ²=BP²-PQ²=（25+PH²）-（9+PH²）=16．所以BQ=4；
（3）①把P点的坐标代入抛物线解析式可得到b=a²，进而可求出a≥1；②在

1

2

，

6

4

，

10

这三个数中，线段PQ的长度可以为

10

，作BM⊥y轴于点M，首先求出a=2，再求出MQ=PH=2，利用勾股定理可求出MB=QH=

PQ2-PH2

=

6

．所以可得：B₁（

6

，6+

6

），若点Q在OH上，再由抛物线对称性可得B₂（

6

，2-

6

）综上，当PQ=

10

时，B点坐标为（

6

，6+

6

）或（

6

，2-

6

）．

解答：解：（1）过点P作PH⊥OA于点H，
∴OA=2OH，
∵b=5，
∴OH=5，
∴OA=10，
∴点A坐标是（0，10）．
故答案为：（0，10）．

（2）连接BP、OP．
∵b=5，PH⊥OA，
∴OH=AH=5．
∵OQ=8，
∴QH=OQ-OH=3．
在Rt△QHP中，PQ²=QH²+PH²=9+PH²，
在RtPHO中，PO²=OH²+PH²=25+PH²=BP²，
在RtBQP中，BQ²=BP²-PQ²=（25+PH²）-（9+PH²）=16．
∴BQ=4．
（3）①∵点P在函数y=x²（x＞0）的图象上，
∴b=a²，
∴a≥1，
故答案为：a≥1；
②在

1

2

，

6

4

，

10

这三个数中，线段PQ的长度可以为

10

，
理由如下：
∵△BQP是等腰直角三角形，PQ=

10

，
∴半径BP=2

5

．
又∵P（a，a²），
∴OP²=a²+a⁴=（2

5

）²．
即a⁴+a²-20=0．
解得a=±2．
∵a＞0
∴a=2． 
∴P（2，4）．
如图，作BM⊥y轴于点M，则△QBM≌△PQH．
∴MQ=PH=2，
∴MB=QH=

PQ2-PH2

=

6

．
∴B₁（

6

，6+

6

）． 
若点Q在OH上，由对称性可得B₂（

6

，2-

6

）
综上，当PQ=

10

时，B点坐标为（

6

，6+

6

）或（

6

，2-

6

）．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理的运用，三角形全等、探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．