Question

已知非负数a，b，c满足a+b=2，c-3a=4，设S=a²+b+c的最大值为m，最小值为n，则m-n的值为（　　）

• A、9
• B、8
• C、1
• D、

  10

  3

Answer 1

考点：二次函数的最值

专题：

分析：用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解．

解答：解：∵a+b=2，c-3a=4，
∴b=2-a，c=3a+4，
∵b，c都是非负数，
∴

2-a≥0① 3a+4≥0②

，
解不等式①得，a≤2，
解不等式②得，a≥-

4

3

，
∴-

4

3

≤a≤2，
又∵a是非负数，
∴0≤a≤2，
S=a²+b+c=a²+（2-a）+3a+4，
=a²+2a+6，
∴对称轴为直线a=-

2

2×1

=-1，
∴a=0时，最小值n=6，
a=2时，最大值m=2²+2×2+6=14，
∴m-n=14-6=8．
故选B．

点评：本题考查了二次函数的最值问题，用a表示出b、c并求出a的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s关于a的函数关系式．