Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：ED是⊙P的切线；

（3）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）证明见解析（3）点N的坐标为（﹣5，）、（3，）、（﹣3，﹣）

【解析】

试题分析：（1）根据题意求得B的坐标，解直角三角形求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得；

（2）根据平行四边形的性质和直角三角形的性质求得AB=4，根据AE=3EB求得AE=3，易证得△AED∽△COD，得出∠ADE=∠CDO，由∠ADE+∠ODE=90°得出∠CDO+∠ODE=90，即可证得结论；

（3）把抛物线解析式化成顶点式，求得顶点M的坐标，然后结合B、D的坐标即可求得．

试题解析：（1）∵C（2，0），BC=6，

∴B（﹣4，0），

在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，

∴OD=2tan60°=2，

∴D（0，2），

设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x﹣2），

把D（0，2）代入得a4（﹣2）=2，解得a=﹣，

∴抛物线的解析式为y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣x2﹣x+2；

（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，

∵AE=3BE，

∴AE=3，

∴，

∵sin∠BCD=，

∴，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAE=∠DCB=60°，

∴△AED∽△COD，

∴∠ADE=∠CDO，

而∠ADE+∠ODE=90°

∴∠CDO+∠ODE=90°，

∴CD⊥DE，

∵∠DOC=90°，

∴CD为⊙P的直径，

∴ED是⊙P的切线；

（3）存在．

∵y=﹣x2﹣x+2=﹣（x+1）2+

∴M（﹣1，），

而B（﹣4，0），D（0，2），如图2，

当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点B，

则点M（﹣1，）向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点N1（﹣5，）；

当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，

再向上平移个单位得到点M，则点D（0，2）向右平移3个单位，再向上平移个单位得到点N2（3，）；

当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，

再向下平移个单位得到点B，则点D（0，2）向右平移3个单位，再向下平移个单位得到点N3（﹣3，﹣）．

综上所述，点N的坐标为（﹣5，）、（3， ）、（﹣3，﹣）．