Question

【题目】如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．

（1）求证：CF为⊙O的切线；

（2）若CE＝2，BE＝1，求BD长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BD＝3

【解析】

（1）连结OC，由于∠A=∠OCA，则根据三角形外角性质得∠BOC=2∠A，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根据平行线的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根据切线的判定定理得CF为⊙O的切线；
（2）过点O作OG⊥DE，垂足为G，则可证四边形OCEG是矩形，可得OG=CE=2，OC=GE=1+GB，根据勾股定理可求GB的长，根据垂径定理可求BD的长．

解：（1）如图：连结OC，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠OCA，

∴∠BOC＝∠A+∠OCA＝2∠A，

∵∠ABD＝2∠BAC，

∴∠ABD＝∠BOC，

∴OC∥BD，

∵CE⊥BD，

∴OC⊥CE，

∴CF为⊙O的切线；

（2）如图：过点O作OG⊥DE，垂足为G

∵OG⊥DE，OC⊥CE，DE⊥CE

∴四边形OCEG是矩形

∴OG＝CE＝2，OC＝GE＝1+GB

在Rt△OGB中，OB2＝OG2+GB2．

∴（1+GB）2＝4+GB2．

∴GB＝，

∵OG⊥DB

∴BD＝2GB＝3