Question

如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）填空：
①当t为______s时，四边形ACFE是菱形；
②当t为______s时，以A、F、C、E为顶点的四边形是直角梯形．

Answer 1

（1）证明：∵AG∥BC，
∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，
∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
∵在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS）；

（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，
则此时的时间t=6÷1=6（s）；
②四边形AFCE为直角梯形时，
（I）若CE⊥AG，则AE=3，BF=3×2=6，即点F与点C重合，不是直角梯形．
（II）若AF⊥BC，
∵△ABC为等边三角形，
∴F为BC中点，即BF=3，
∴此时的时间为3÷2=1.5（s）；
分析：（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；
（2）①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可；
②分两种情况考虑：若CE⊥AG，此时四点构成三角形，不是直角梯形；若AF⊥BC，求出BF的长度及时间t的值．
点评：此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及直角梯形，弄清题意是解本题的关键．