Question

14．如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、B两点的坐标分别为（3，0）、（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设M是抛物线上的一点，且它位于对称轴的右侧．若四边形OAMB的四条边的长度是四个连续的整数，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，P是抛物线对称轴上的任意一点，求证：PA²+PB²+PM²＞28．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得n=$\frac{4}{9}$（m-3）²，根据m、n是正整数，可得m是3的倍数，根据勾股定理，可得MA的长，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得MB，MB的长，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 （1）解：设y=a（x-3）²，把B（0，4）代入，得a=$\frac{4}{9}$，
∴y=$\frac{4}{9}$（x-3）²；
（2）解：∵m，n为正整数，n=$\frac{4}{9}$（m-3）²，
∴（m-3）²应该是9的整数，
∴m是3的倍数，
又∵m＞3，
∴m=6，9，12…，
当m=6时，n=4，此时MA=5，MB=6，
∴四边形OAMB的四边长为3，4，5，6，
当m≥9时，MB＞6，
∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的正整数，
∴点M坐标只有一种可能（6，4）；
3）证明：设P（3，t），MB与对称轴交点为D，
则PA=|t|，PD=|4-t|，PM²=PB²=（4-t）²+9，
∴PA²+PB²+PM²=t²+2[（4-t）²+9]=3t²-16t+50=3（t-$\frac{8}{3}$）²+$\frac{86}{3}$，
∴当t=$\frac{8}{3}$时，（PA²+PB²+PM²）_最小=$\frac{86}{3}$，
∴PA²+PB²+PM²＞28总是成立．

点评 本题考查了二次函数综合题，把函数解析式设为顶点式是求函数解析式的关键；利用函数图象上的点满足函数解析式得出m是3的倍数是解题关键；利用了二次函数的性：a＞0时，顶点的坐标是函数的最小值．