Question

如图，（1）△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A₁B₁D₁E₁（D₁、E₁在AB上，A₁、B₁分别在AC、BC上），再在△A₁B₁C内用同样的方法作第2个内接正方形A₂B₂D₂E₂，…如此下去，操作n次，则第一个内接正方形的边长是                 ，第n个小正方形A_nB_nD_nE_n 的边长是　_________　．

（2）在△ABC中，BC=12，高AD=8，四边形PQMN为△ABC的内接矩形，（P在AB上，Q在AC上，M、N在BC上），

①求当PQ为何值时，矩形PQMN面积最大。

②若再在△APQ中作一个内接矩形P₂Q₂M₂N₂，如此下去，操作n次，求PnQn的长。（直接写出结果）

(3)解完上述两题，根据其中一题你还能归纳出怎样的数学结论，请简单的写出一条。

Answer 1

(1)    1  ,                     -----3分

(2)  ①设PQ=x, 矩形PQMN面积为y,

则根据△APQ∽△ABC 得PN=   ------2分

     ------2分

当PQ=6时，矩形PQMN面积最大。------1分

 ②PnQn=              ------2分

（3）略            ------2分