Question

在直角坐标系XOY中，二次函数图象的顶点坐标为，且与x轴的两个交点间的距离为6．
（1）求二次函数解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出Q点的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵顶点坐标为C（4，-），且与x轴的两个交点间的距离为6，
∴对称轴x=4，A（1，0），B（7，0），
设抛物线解析式y=a（x-1）（x-7），将C点坐标代入可得a=，
∴所求解析式为y=x²-x+；

（2）在x轴上方的抛物线上存在点Q，使得以点Q、A、B为顶点的三角形与△ABC相似，
因为△ABC为等腰三角形，
∴当AB=BQ，
∵AB=6，
∴BQ=6，过点C作CD⊥x轴于D，则AD=3，CD=
∴∠BAC=∠ABC=30°，
∴∠ACB=120°，
∴∠ABQ=120°，过点Q作QE⊥x轴于E，则∠QBE=60°，
∴QE=BQsin60°=6×=3，
∴BE=3，
∴E（10，0），．
当x=10时，y=×10²-×10+=3；
∴点Q在抛物线上，由抛物线的对称性，
还存在一点，使△ABQ′∽△CAB故存在点或．
分析：（1）已知顶点，就已知对称轴，又AB=6，可求A、B两点坐标了，可设抛物线交点式求解；
（2）根据点的坐标先研究△ABC的特殊性，AC=BC，∠A=∠B=30°，故△ABQ也是等腰三角形，AB为腰，且∠A=30°或者∠B=30°，通过解直角三角形可求Q点坐标，再判断Q点是否在抛物线上．
点评：本题考查了点的坐标及抛物线解析式的求法，在抛物线上寻找三角形相似的条件的方法．