Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为1，将△DCB绕点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．下列结论中正确的有（　　）

①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④BC+FG＝1.5．

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出AE＝EG＝FG＝AF，由此可以一一判断．

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC＝BC＝AB，∠DAB＝∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°，∠ADB＝∠BDC＝∠CAD＝∠CAB＝45°，

∵△DHG是由△DBC旋转得到，

∴DG＝DC＝AD，∠DGE＝∠DCB＝∠DAE＝90°，

在Rt△ADE和Rt△GDE中，DE=DE,DA=DG

∴AED≌△GED（HL），故②正确，

∴∠ADE＝∠EDG＝22.5°，AE＝EG，

∴∠AED＝∠AFE＝67.5°，

∴AE＝AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG＝GF，

∴AE＝EG＝GF＝FA，

∴四边形AEGF是菱形，故①正确，

∵∠DFG＝∠GFC+∠DFC＝∠BAC+∠DAC+∠ADF＝112.5°，故③正确．

∵AE＝FG＝EG＝BG，BE＝AE，

∴BE＞AE，

∴AE＜，

∴CB+FG＜1.5，故④错误．

故选：C．