Question

10．如图，已知点A（1，4），点B（6，$\frac{2}{3}$）是一次函数y=kx+b图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m＞0）图象的交点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D．
（1）根据图象直接回答：在第一象限内，当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）设P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数图象在反比例函数下方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据三角形面积相等，可得答案．

解答 解：（1）一次函数的值小于反比例函数的值时x取范围是0＜x＜1或6＜x＜7；
（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，
y=kx+b的图象过点A（1，4），点B（6，$\frac{2}{3}$），则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{6k+b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{14}{3}}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{14}{3}$，
∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m＞0）图象过点（1，4），
∴m=1×4=4；
（3）设P（x，-$\frac{2}{3}$x+$\frac{14}{3}$），
由△PCA和△PDB面积相等得：
$\frac{1}{2}$×1×（4+$\frac{2}{3}$x-$\frac{14}{3}$）=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×（6-x），
解得x=$\frac{7}{2}$，y=$\frac{7}{3}$，
∴P（$\frac{7}{2}$，$\frac{7}{3}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系数法求解析式．