Question

17．如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．

Answer 1

分析 （1）欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角；
（2）如图，过点B作BH⊥AE于点H．构建直角△BEH．通过解该直角三角形可以求得sin∠AEB的值．在Rt△BCE中，由勾股定理得$BE=\sqrt{B{C^2}+C{E^2}}=10$．在Rt△AHB中，BH=AB•sin45°=7$\sqrt{2}$．所以通过解Rt△BHE得到：sin∠AEB=$\frac{BH}{BE}=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAF=∠F．
∵∠F=45°，
∴∠DAE=45°．
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠EAB=∠DAE=45°．
∴∠DAB=90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．

（2）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．
∵AB=14，DE=8，
∴CE=6．
在Rt△ADE中，∠DAE=45°，
∴∠DEA=∠DAE=45°．
∴AD=DE=8．
∴BC=8．
在Rt△BCE中，由勾股定理得$BE=\sqrt{B{C^2}+C{E^2}}=10$．
在Rt△AHB中，∠HAB=45°，
∴BH=AB•sin45°=7$\sqrt{2}$．  
∵在Rt△BHE中，∠BHE=90°，
∴sin∠AEB=$\frac{BH}{BE}=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$．

点评 本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质和平行四边形的判定与性质．注意：本题中辅助线的作法，通过构建直角三角形，通过勾股定理求得有关线段的长度，然后通过解直角三角形来求锐角三角函数值．