Question

18．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2$\sqrt{2}$的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．
（1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由；
（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．

Answer 1

分析 （1）延长EB交DG于点H，先证出Rt△ADG≌Rt△ABE，得出∠AGD=∠AEB，再根据∠HBG=∠EBA，得出∠HGB+∠HBG=90°即可；                
（2）过点A作AP⊥BD交BD于点P，根据△DAG≌△BAE得出DG=BE，∠APD=90°，求出AP、DP，利用勾股定理求出PG，再根据DG=DP+PG求出DG，最后根据DG=BE即可得出答案．

解答 解：（1）如图1，延长EB交DG于点H，
∵ABCD和AEFG为正方形，
∴在Rt△ADG和Rt△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠GAD=∠GAE}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADG≌Rt△ABE，
∴∠AGD=∠AEB，
∵∠HBG=∠EBA，
∴∠HGB+∠HBG=90°，
∴DG⊥BE；                

（2）如图2，过点A作AP⊥BD交BD于点P，
∵ABCD和AEFG为正方形，
∴在△DAG和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAG=∠BAE}\\{AE=AG}\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△BAE（SAS），
∴DG=BE，
∵∠APD=90°，
∴AP=DP=$\sqrt{2}$，
∵AG=2$\sqrt{2}$，
∴PG=$\sqrt{A{G}^{2}-P{A}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴DG=DP+PG=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$，
∵DG=BE，
∴BE=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．

点评 此题考查了旋转的性质和正方形的性质，用到的知识点是旋转的性质、全等三角形的判定，勾股定理和正方形的性质，关键是根据题意画出辅助线，构造直角三角形．