Question

7．如图，在平面直角坐标系中，直线y₁=mx与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$相交于点A、B，四边形AODC为菱形，点C在x轴正半轴上，点D的坐标为（2，-3）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）过点A作AM⊥y轴于点M，连接BM，求△ABM的面积；
（3）x取何值时，y₁＜y₂？请直接写出结果：x＜-2或0＜x＜2．

Answer 1

分析 （1）连接AD，交x轴于点E，根据菱形的性质结合点D的坐标可得出点A的坐标，结合点A的坐标利用待定系数法即可求出一次函数与反比例函数的关系式；
（2）根据函数的对称性结合点A的坐标可得出点B的坐标，由点A的坐标可得出点M的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解．

解答 解：（1）连接AD，交x轴于点E，如图1所示．
∵四边形AODC为菱形，
∴AD⊥OC，AE=DE．
∵点D的坐标为（2，-3），
∴点A的坐标为（2，3）．
将点A（2，3）代入y₁=mx中，
得：3=2m，解得：m=$\frac{3}{2}$，
∴一次函数的表达式为y₁=$\frac{3}{2}$x．
将点A（2，3）代入y₂=$\frac{k}{x}$中，
得：3=$\frac{k}{2}$，解得：k=6，
∴反比例函数表达式为y₂=$\frac{6}{x}$．
（2）依照题意画出图形，如图2所示．
∵点A、点B关于点O成中心对称，且点A（2，3），
∴点B（-2，-3），点M（0，3），
∴AM=2．
S_△ABM=$\frac{1}{2}$AM•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×2×[3-（-3）]=6．
（3）观察函数图象，发现：
当x＜-2或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式y₁＜y₂的解为：x＜-2或0＜x＜2．
故答案为：x＜-2或0＜x＜2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求出函数解析式以及菱形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）利用三角形的面积公式求出面积；（3）根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．