Question

17．在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比$k=\frac{BC}{AB}$．

（1）如图2，若点A（1，3），B（3，5），则△OAB投影比k的值为$\frac{5}{3}$．
（2）已知点C（4，0），在函数y=2x-4（其中x＜2）的图象上有一点D，若△OCD的投影比k=2，求点D的坐标．
（3）已知点E（3，2），在直线y=x+1上有一点F（5，a）和一动点P，若△PEF的投影比1＜k＜2，则点P的横坐标m的取值范围1＜m＜3或m＞5（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）在图2中作出△OAB的投影矩形ACBD，根据投影比的定义即可得出结论；
（2）设出D点的坐标，分0≤x≤2和x＜0两种情况考虑，找出两种情况下△OCD的投影矩形，根据投影比的定义列出关于x的方程，解方程即可得出结论；
（3）根据题意画出图形，根据投影矩形的不同分四种情况考虑（m≤1，1＜m＜3，3≤m≤5和m＞5），找出每种情况下的投影矩形投影比，根据m的取值范围确定k的取值范围，由此即可得出结论．

解答 解：（1）在图2中

过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D，则矩形ACBD为△OAB的投影矩形，
∵点B（3，5），
∴OC=3，BC=5，
∴△OAB投影比k的值为$\frac{BC}{OC}$=$\frac{5}{3}$．
（2）∵点D为函数y=2x-4（其中x＜2）的图象上的点，
设点D坐标为（x，2x-4）（x＜2）．
分以下两种情况：

①当0≤x≤2时，如图3所示，

作投影矩形OMNC．
∵OC≥OM，
∴$k=\frac{OC}{OM}=\frac{4}{OM}=\frac{4}{-（2x-4）}=2$，
解得x=1，
∴D（1，-2）；
②当x＜0时，如图4所示，

作投影矩形MDNC．
∵点D坐标为（x，2x-4），点M点坐标为（x，0），
∴DM=|2x-4|=4-2x，MC=4-x，
∵x＜0，
∴DM＞CM，
∴$k=\frac{DM}{MC}=\frac{4-2x}{4-x}=2$，但此方程无解．
∴当x＜0时，满足条件的点D不存在．
综上所述，点D的坐标为D（1，-2）．
（3）令y=x+1中y=2，则x+1=2，解得：x=1．
①当m≤1时，作投影矩形A′FB′P，如图5所示．

此时点P（m，m+1），PA′=5-m，FA′=6-（m+1）=5-m，△PEF的投影比k=$\frac{FA′}{PA′}$=1，
∴m≤1不符合题意；
②当1＜m＜3时，作投影矩形A′FB′Q，如图6所示．

此时点P（m，m+1），FB′=5-m，FA′=6-2=4，△PEF的投影比k=$′\frac{FA′}{FB′}$=$\frac{4}{5-m}$，
∵1＜m＜3，
∴1＜k＜2，
∴1＜m＜3符合题意；
③当3≤m≤5时，作投影矩形A′FB′E，如图7所示．

此时点E（3，2），FA′=6-2=4，FB′=5-3=2，△PEF的投影比k=$′\frac{FA′}{FB′}$=2，
∴3≤m≤5不符合题意；
④当m＞5时，作投影矩形A′PB′E，如图8所示．

此时点P（m，m+1），点E（3，2），PB′=m+1-2=m-1，PA′=m-3，△PEF的投影比k=$\frac{PB′}{PA′}$=$\frac{m-1}{m-3}$，
∵m＞5，
∴1＜k＜2，
∴m＞5符合题意．
综上可知：点P的横坐标m的取值范围为1＜m＜3或m＞5．
故答案为：1＜m＜3或m＞5．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解不等式，解题的关键是：（1）找出投影矩形的长边和短边长；（2）分两种情况考虑；（3）分四种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，但解题过程中用到了分段考虑，给解题带来了麻烦，解决该题型题目时，画出图形，利用数形结合解决问题是关键．