Question

3．如图1，四边形ABCD中，AB=BC，BE⊥AD，垂足为E，∠BCD-ABE=90°，过点C作CF∥AD，交对角线BD于点F．
（1）求证：CF=CD；
（2）若将“AB=BC”改为“AB=k•BC（k为常数，且k＞0）”，其它条件不变（如图2），求$\frac{CF}{CD}$的值（用含k的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）过B作BQ⊥DC于Q，求出∠Q=∠BEA=90°，∠ABE=∠CBQ，根据AAS推出△BEA≌△BQC，求出BE=BQ，根据角平分线性质得出∠ADB=∠CDB，推出∠CFD=∠CDF即可；
（2）过B作BQ⊥DC交DC的延长线于H，连接AC，由BE⊥AD，得到∠ABE=90°-∠A，由于∠BCD-∠ABE=90°，于是得到∠BCD=90°+∠ABE=180°-∠A=180°-∠BCH，得到∠BCH=∠A，推出A，B，C，D四点共圆，于是得到∠BAC=∠CDF，∠ACB=∠ADB，证得△ABC～△DCF，即可得到结果．

解答 （1）证明：过B作BQ⊥DC于Q，
∵BE⊥AD，
∴∠Q=∠BEA=90°，
∴∠BCD-90°=∠QBC，
∵∠BCD-∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠CBQ，
在△BEA和△BQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBQ}\\{∠BEA=∠Q}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△BQC（AAS），
∴BE=BQ，
∵BE⊥AD，BQ⊥DC，
∴∠ADB=∠CDB，
∵CF∥AD，
∴∠CFD=∠ADB，
∴∠CFD=∠CDF，
∴CF=CD；

（2）解：过B作BQ⊥DC交DC的延长线于H，连接AC，
∵BE⊥AD，
∴∠ABE=90°-∠A，
∵∠BCD-∠ABE=90°，
∴∠BCD=90°+∠ABE=180°-∠A=180°-∠BCH，
∴∠BCH=∠A，∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠BAC=∠CDF，∠ACB=∠ADB，
∵CF∥AD，
∴∠CFD=∠ADB=∠ACB，
∴△ABC～△DCF，
∴$\frac{CF}{CD}=\frac{BC}{AB}=\frac{BC}{k•BC}=\frac{1}{k}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是推出∠ADB=∠CDB，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等，