【题目】如图(1),∠AOB=45°,点P、Q分别是边OA,OB上的两点,且OP=2cm.将∠O沿PQ折叠,点O落在平面内点C处.
(1)①当PC∥QB时,OQ= ;
②当PC⊥QB时,求OQ的长.
(2)当折叠后重叠部分为等腰三角形时,求OQ的长.
【答案】(1) 2 (2)2+2 , 2
-2 (3)符合条件的点Q共有5个. ①当点C在∠AOB内部或一边上时,OQ=2,
,2
②当点C在∠AOB的外部时,OQ=
+
,
-
.
【解析】试题分析:(1)①由平行线的性质得出∠O=∠CPA,由折叠的性质得出∠C=∠O,OP=CP,证出∠CPA=∠C,得出OP∥QC,证出四边形OPCQ是菱形,得出OQ=OP=2cm即可;
②当PC⊥QB时,分两种情况:设OQ=xcm,证出△OPM是等腰直角三角形,得出OM=,证出△CQM是等腰直角三角形,得出
,得出方程
解方程即可;(ii)同(i)得出:
,即可得出结论;
(2)当折叠后重叠部分为等腰三角形时,符合条件的点Q共有5个;点C在∠AOB的内部或一边上时,由折叠的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的长;点C在∠AOB的外部时,同理求出OQ的长即可;
试题解析:
(1)①当PC∥QB时,∠O=∠CPA,
由折叠的性质得:∠C=∠O,OP=CP,
∴∠CPA=∠C,
∴OP∥QC,
∴四边形OPCQ是平行四边形,
∴四边形OPCQ是菱形,
∴OQ=OP=2cm;
②当PC⊥QB时,分两种情况:
如图1所示:设OQ=xcm,
∵∠O=45°,
∴△OPM是等腰直角三角形,
∴OM= ,
∴QM= ,
由折叠的性质得:∠C=∠O=45°,CQ=OQ=x,
∴△CQM是等腰直角三角形,
∴QC= ,
∴ ,
解得: ,
即OQ= ;
(ii)如图2所示:
同(i)得:OQ=,
综上所述:当PC⊥QB时,OQ的长为 或
;
(2)当折叠后重叠部分为等腰三角形时,符合条件的点Q共有5个;
①点C在∠AOB的内部时,四边形OPCQ是菱形,OQ=OP=2cm;
②当点C在∠AOB的一边上时,△OPQ是等腰直角三角形,OQ= 或
,
③当点C在∠AOB的外部时,分两种情况:
(i)如图3所示:PM=PQ,则∠PMQ=∠PQM=∠O+∠OPQ,
由折叠的性质得:∠OPQ=∠MPQ,
设∠OPQ=∠MPQ=x,
则∠PMQ=∠PQM=45°+x,
在△OPM中,由三角形内角和定理得:45°+x+x+45°+x=180°,
解得:x=30°,
∴∠OPQ=30°,
作QN⊥OP于N,设ON=a,
∵∠O=45°,
则QN=ON=a,OQ= ,PN=
,
∵ON+PN=OP,
∴a+ ,
解得: ,
∴OQ= ;
(ii)如图4所示:PQ=MQ,作QN⊥OA于N,
同①得:OQ= ;
综上所述:当折叠后重叠部分为等腰三角形时,OQ的长为2cm或
。
科目:初中数学 来源: 题型:
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(2)求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标(例如“B1”的下标为“1”)为一个奇数一个偶数的概率.
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