【题目】如图,AB为⊙O的直径,直线CD切⊙O于点D,AM⊥CD于点M,BN⊥CD于N.
(1)求证:∠ADC=∠ABD;
(2)求证:AD2=AMAB;
(3)若AM=,sin∠ABD=,求线段BN的长.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】
试题分析:(1)连接OD,由切线的性质和圆周角定理即可得到结果;
(2)由已知条件证得△ADM∽△ABD,即可得到结论;
(3)根据三角函数和勾股定理代入数值即可得到结果.
(1)证明:连接OD,
∵直线CD切⊙O于点D,
∴∠CDO=90°,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
∵OB=OD,
∴∠3=∠4,
∴∠ADC=∠ABD;
(2)证明:∵AM⊥CD,
∴∠AMD=∠ADB=90°,
∵∠1=∠4,
∴△ADM∽△ABD,
∴,
∴AD2=AMAB;
(3)解:∵sin∠ABD=,
∴sin∠1=,
∵AM=,
∴AD=6,
∴AB=10,
∴BD==8,
∵BN⊥CD,
∴∠BND=90°,
∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°,
∴∠DBN=∠1,
∴sin∠NBD=,
∴DN=,
∴BN==.
科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源: 题型:
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