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【题目】如图,AB为O的直径,直线CD切O于点D,AMCD于点M,BNCD于N.

(1)求证:ADC=ABD

(2)求证:AD2=AMAB;

(3)若AM=,sinABD=,求线段BN的长.

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)

【解析】

试题分析:(1)连接OD,由切线的性质和圆周角定理即可得到结果;

(2)由已知条件证得ADM∽△ABD,即可得到结论;

(3)根据三角函数和勾股定理代入数值即可得到结果.

(1)证明:连接OD,

直线CD切O于点D,

∴∠CDO=90°

ABO的直径,

∴∠ADB=90°

∴∠1+2=2+3=90°

∴∠1=3

OB=OD

∴∠3=4

∴∠ADC=ABD

(2)证明:AMCD

∴∠AMD=ADB=90°,

∵∠1=4

∴△ADM∽△ABD

AD2=AMAB;

(3)解:sinABD=

sin1=

AM=

AD=6

AB=10

BD==8,

BNCD

∴∠BND=90°

∴∠DBN+BDN=1+BDN=90°

∴∠DBN=1

sinNBD=

DN=

BN==

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